代数系统

一、代数系统的引言 1.1 为什么要引入代数系统在更抽象的层次上寻找不同数学分支的共性：

代数系统的研究对象：某集合元素的总体代数系统的运算：满足一定抽象条件的运算实质：代数系统是在集合上定义若干运算而形成的系统。

1.2 运算的类型一元运算（Unary Operation）：只带一个操作数的运算。

例如：实数的求倒数、相反数、绝对值；集合的补运算；逻辑的非运算。

二元运算（Binary Operation）：具有两个操作数的运算。

例如：实数的加、减、乘、除；集合的交、并；逻辑的与、或。

为什么重点讨论二元运算：大多数常见的数学运算都是二元运算，且二元运算足以表达大部分代数结构。

1.3 封闭性定义：对于集合 AAA，一个从 AnA^nAn 到 BBB 的映射称为集合 AAA 上的一个 nnn 元运算。如果 B⊆AB \subseteq AB⊆A（即 BBB 是 AAA 的子集），则称该 nnn 元运算是封闭的。

示例：加法在自然数集、实数集上封闭；减法在自然数集上不封闭（如 1−2=−1∉N1 - 2 = -1 \notin \mathbb{N}1−2=−1∈/N），在整数集上封闭。

1.4 代数系统的定义定义：代数系统（代数结构）⟨A;f1,f2,⋯ ,fn⟩\langle A; f_1, f_2, \cdots, f_n \rangle⟨A;f1​,f2​,⋯,fn​⟩ 必须同时满足三个条件：

一个非空集合 AAA建立在 AAA 上的若干运算 f1,f2,⋯ ,fnf_1, f_2, \cdots, f_nf1​,f2​,⋯,fn​这些运算对 AAA 封闭 二、二元运算的表示 2.1 定义法直接用数学表达式定义运算。

示例：

a∗b=2a+ba * b = 2a + ba∗b=2a+ba#b=max⁡(a,b)a \# b = \max(a, b)a#b=max(a,b) 2.2 运算表只适合于有限个元素的集合。

示例：设 A={a,b,c}A = \{a, b, c\}A={a,b,c}，运算 ∗*∗ 的运算表：

∗*∗abcaabcbbcaccab 三、二元运算的基本性质设 ∗*∗ 是定义在 AAA 上的二元运算。

3.1 封闭性∀x,y∈A, 有 x∗y∈A\forall x, y \in A, \text{ 有 } x * y \in A∀x,y∈A, 有 x∗y∈A

3.2 可交换性（Commutative）∀x,y∈A,x∗y=y∗x\forall x, y \in A, \quad x * y = y * x∀x,y∈A,x∗y=y∗x

3.3 可结合性（Associative）∀x,y,z∈A,(x∗y)∗z=x∗(y∗z)\forall x, y, z \in A, \quad (x * y) * z = x * (y * z)∀x,y,z∈A,(x∗y)∗z=x∗(y∗z)

注意：判断一个运算是否可结合，必须用三个变元。

3.4 可分配性（Distributive）设 △\triangle△ 和 ⋆\star⋆ 是 AAA 上的两个二元运算，若满足：

∀x,y,z∈A,x△(y⋆z)=(x△y)⋆(x△z)（左可分配）\forall x, y, z \in A, \quad x \triangle (y \star z) = (x \triangle y) \star (x \triangle z) \quad \text{（左可分配）}∀x,y,z∈A,x△(y⋆z)=(x△y)⋆(x△z)（左可分配）

∀x,y,z∈A,(y⋆z)△x=(y△x)⋆(z△x)（右可分配）\forall x, y, z \in A, \quad (y \star z) \triangle x = (y \triangle x) \star (z \triangle x) \quad \text{（右可分配）}∀x,y,z∈A,(y⋆z)△x=(y△x)⋆(z△x)（右可分配）

则称 △\triangle△ 对 ⋆\star⋆ 是可分配的。

注意：

可分配必须是左可分配且右可分配同时成立△\triangle△ 对 ⋆\star⋆ 可分配 ⇏\not\Rightarrow⇒ ⋆\star⋆ 对 △\triangle△ 可分配 3.5 可吸收性（Absorptive）设 △\triangle△ 和 ⋆\star⋆ 是 AAA 上的两个二元运算，若满足：

∀x,y∈A,x△(x⋆y)=x且x⋆(x△y)=x\forall x, y \in A, \quad x \triangle (x \star y) = x \quad \text{且} \quad x \star (x \triangle y) = x∀x,y∈A,x△(x⋆y)=x且x⋆(x△y)=x

则称 △\triangle△ 和 ⋆\star⋆ 满足吸收律。

前提：△\triangle△ 和 ⋆\star⋆ 是可交换的。

3.6 等幂性（Idempotent）∀x∈A,x∗x=x\forall x \in A, \quad x * x = x∀x∈A,x∗x=x

推论：对于任意正整数 mmm、nnn，xm=xn=xx^m = x^n = xxm=xn=x。

四、特殊元素 4.1 幺元（单位元 / Identity）定义：设 ∗*∗ 是集合 AAA 上的二元运算。

左幺元 ele_lel​：∀x∈A\forall x \in A∀x∈A，el∗x=xe_l * x = xel​∗x=x右幺元 ere_rer​：∀x∈A\forall x \in A∀x∈A，x∗er=xx * e_r = xx∗er​=x幺元 eee：∀x∈A\forall x \in A∀x∈A，e∗x=x∗e=xe * x = x * e = xe∗x=x∗e=x讨论：

幺元不一定存在（例如 ⟨R+,−⟩\langle \mathbb{R}^+, - \rangle⟨R+,−⟩ 没有幺元）不同的运算有不同的幺元，幺元依赖于运算左右幺元可能都有、可能只有一个、也可能不存在只有当左、右幺元都存在并且相等时，才有幺元存在左幺元和右幺元且它们相等，则一定存在幺元幺元若存在，必唯一 4.2 零元（Zero Element）定义：设 ∗*∗ 是集合 AAA 上的二元运算。

左零元 θl\theta_lθl​：∀x∈A\forall x \in A∀x∈A，θl∗x=θl\theta_l * x = \theta_lθl​∗x=θl​右零元 θr\theta_rθr​：∀x∈A\forall x \in A∀x∈A，x∗θr=θrx * \theta_r = \theta_rx∗θr​=θr​零元 θ\thetaθ：∀x∈A\forall x \in A∀x∈A，x∗θ=θ∗x=θx * \theta = \theta * x = \thetax∗θ=θ∗x=θ讨论：

零元不一定存在（例如 ⟨R,+⟩\langle \mathbb{R}, + \rangle⟨R,+⟩ 没有零元）不同的运算有不同的零元，零元依赖于运算左右零元可能都有、可能只有一个、也可能不存在只有当左、右零元都存在并且相等时，才有零元存在左零元和右零元且它们相等，则一定存在零元零元若存在，必唯一若 AAA 有不止一个元素，且运算 ∗*∗ 同时存在幺元和零元，则幺元一定不等于零元数理逻辑中的零元：

运算零元∧\wedge∧（与）000（假）∨\vee∨（或）111（真） 4.3 逆元（Inverse Element）定义：设二元运算 ∗*∗ 存在幺元 eee，若 a,b∈Aa, b \in Aa,b∈A，且 a∗b=ea * b = ea∗b=e，则称 aaa 是 bbb 的左逆元，bbb 是 aaa 的右逆元。若 a∗b=b∗a=ea * b = b * a = ea∗b=b∗a=e，则称 aaa 是 bbb 的逆元，记作 a=b−1a = b^{-1}a=b−1。

讨论：

aaa 是 bbb 的逆元 ⇔\Leftrightarrow⇔ bbb 是 aaa 的逆元 ⇔\Leftrightarrow⇔ aaa、bbb 互逆 ⇔\Leftrightarrow⇔ a=b−1a = b^{-1}a=b−1 ⇔\Leftrightarrow⇔ b=a−1b = a^{-1}b=a−1一个元素的逆元可以是自己对于同一个运算，有些元素有逆元，有些可能没有逆元一个元素的左逆元可以不等于右逆元一个元素的左、右逆元，可以只有其中的一个，可以两个都有，也可以一个都没有一个元素的左（右）逆元可以不唯一在某些条件下，逆元是唯一的（如运算满足结合律时） 五、运算表中的性质判断以下性质可以通过运算表直接观察：

性质运算表中的体现封闭性运算表中所有结果都在集合 AAA 中可交换性运算表关于主对角线对称等幂性主对角线上的元素与行/列标相同幂元某一行和某一列都与表头完全一致零元某一行和某一列的所有元素都是该元素本身互逆对于幺元所在的列，每行中出现幺元的位置对应互逆的元素 六、广群与半群 6.1 广群定义：代数系统 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩，其中 SSS 是非空集合，∗*∗ 是 SSS 上的二元运算，若 ∗*∗ 是封闭的，则称 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 为广群。

6.2 半群定义：代数系统 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩，其中 SSS 是非空集合，∗*∗ 是 SSS 上的二元运算，若 ∗*∗ 是封闭的且可结合的，则称 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 为半群（Semigroup）。

若运算 ∗*∗ 还是可交换的，则称 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 为可交换半群。

6.3 子半群定义：若 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 是半群，B⊆SB \subseteq SB⊆S 且 ∗*∗ 在 BBB 上是封闭的，则 ⟨B,∗⟩\langle B, * \rangle⟨B,∗⟩ 是半群，称为 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 的子半群。

6.4 关于半群的定理定理：有限集对应的半群一定存在幂等元（即存在 a∈Sa \in Sa∈S 使得 a∗a=aa * a = aa∗a=a）。

证明关键：抽屉（鸽巢）原理。

七、独异点 7.1 独异点的定义定义：含有幺元的半群称为独异点（Monoid，也叫幺半群）。

即 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 满足：封闭、可结合、存在幺元 eee。

示例：设 Zm\mathbb{Z}_mZm​ 是由模 mmm 的同余类组成的集合，定义运算 +m+_m+m​ 和 ×m\times_m×m​：

[a]+m[b]=[(a+b)(modm)][a] +_m [b] = [(a + b) \pmod{m}][a]+m​[b]=[(a+b)(modm)]

[a]×m[b]=[(a×b)(modm)][a] \times_m [b] = [(a \times b) \pmod{m}][a]×m​[b]=[(a×b)(modm)]

则 ⟨Zm,+m⟩\langle \mathbb{Z}_m, +_m \rangle⟨Zm​,+m​⟩ 和 ⟨Zm,×m⟩\langle \mathbb{Z}_m, \times_m \rangle⟨Zm​,×m​⟩ 都是独异点。

八、群 8.1 群的定义定义：代数系统 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 中，GGG 是非空集合，∗*∗ 是 GGG 上的二元运算，若满足：

运算 ∗*∗ 是封闭的（满足①是广群）运算 ∗*∗ 是可结合的（满足①②是半群）存在幺元 eee（满足①②③是独异点）对于每一个元素 x∈Gx \in Gx∈G，存在其逆元 x−1x^{-1}x−1（满足①②③④是群）则称 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 为一个群（Group）。

层次关系：

广群⊆半群⊆独异点⊆群\text{广群} \subseteq \text{半群} \subseteq \text{独异点} \subseteq \text{群}广群⊆半群⊆独异点⊆群

8.2 有限群与无限群有限群：GGG 是有限集，GGG 的元素个数称为有限群的阶数。

无限群：GGG 是无限集。

示例：⟨Z,+⟩\langle \mathbb{Z}, + \rangle⟨Z,+⟩ 是一个群（Z\mathbb{Z}Z 是所有整数的集合，+++ 是普通加法）。

8.3 子群定义：⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 是群，S⊆GS \subseteq GS⊆G 且 SSS 非空，若 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 也是群，则 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 是 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 的子群。

平凡子群：若 S={e}S = \{e\}S={e} 或 S=GS = GS=G，称 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 是 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 的平凡子群。

示例：⟨Z,+⟩\langle \mathbb{Z}, + \rangle⟨Z,+⟩ 是一个群，设 Im={mk∣k∈Z}I_m = \{mk \mid k \in \mathbb{Z}\}Im​={mk∣k∈Z}，则 ⟨Im,+⟩\langle I_m, + \rangle⟨Im​,+⟩ 是 ⟨Z,+⟩\langle \mathbb{Z}, + \rangle⟨Z,+⟩ 的一个子群。

8.4 群的性质性质1：群中不存在零元。

群的阶等于1时，幺元即为零元（但一般不讨论）；阶大于1时，群中不存在零元。

性质2：群上的方程 a∗x=ba * x = ba∗x=b 和 y∗a=by * a = by∗a=b（a,b∈Ga, b \in Ga,b∈G）在群内都有唯一解。

解分别为 x=a−1∗bx = a^{-1} * bx=a−1∗b 和 y=b∗a−1y = b * a^{-1}y=b∗a−1。证明需分别验证存在性和唯一性。

性质3：群满足消去律：

∀a,b,c∈G,a∗b=a∗c⇒b=c\forall a, b, c \in G, \quad a * b = a * c \Rightarrow b = c∀a,b,c∈G,a∗b=a∗c⇒b=c

∀a,b,c∈G,b∗a=c∗a⇒b=c\forall a, b, c \in G, \quad b * a = c * a \Rightarrow b = c∀a,b,c∈G,b∗a=c∗a⇒b=c

因为 aaa 有逆元且 ∗*∗ 可结合。注意：若 ∗*∗ 不可交换，则 a∗b=c∗aa * b = c * aa∗b=c∗a 不一定有 b=cb = cb=c。

性质4：群的运算表中的每一行或每一列都是 GGG 元素的一个置换。

每一个元素在运算表的任意行或任意列不可能出现多次每一个元素在运算表的任意行或任意列都会出现性质5：除单位元外，群不存在幂等元。

由消去律推出。若 a∗a=a=a∗ea * a = a = a * ea∗a=a=a∗e，由消去律得 a=ea = ea=e。

性质6：群的幺元必定是其子群的幺元。

性质7：GGG 的非空有限子集 BBB 对 ∗*∗ 封闭，则 ⟨B,∗⟩\langle B, * \rangle⟨B,∗⟩ 是 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 的子群。

证明方法：利用抽屉原理证明存在幺元和任一元素有逆元。注意：无限子集不能用抽屉原理。

性质8：GGG 的非空子集 SSS（有限或无限），若 ∀a,b∈S\forall a, b \in S∀a,b∈S，a∗b−1∈Sa * b^{-1} \in Sa∗b−1∈S，则 ⟨S,∗⟩\langle S, * \rangle⟨S,∗⟩ 是 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 的子群。

证明方法：验证有幺元、任一元素有逆元、封闭、可结合。

九、阿贝尔群 9.1 阿贝尔群的定义定义：群 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 中的运算 ∗*∗ 是可交换的，则称 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 为阿贝尔群（Abelian Group，也称交换群）。

∀a,b∈G,a∗b=b∗a\forall a, b \in G, \quad a * b = b * a∀a,b∈G,a∗b=b∗a

示例：⟨Z,+⟩\langle \mathbb{Z}, + \rangle⟨Z,+⟩ 是阿贝尔群（整数加法群）。

9.2 证明阿贝尔群的方法方法一：根据定义，先证明 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 是群，再证明运算 ∗*∗ 是可交换的。

方法二：利用充要条件——⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 是阿贝尔群 ⇔\Leftrightarrow⇔ ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 是群，且 ∀a,b∈G\forall a, b \in G∀a,b∈G，(a∗b)∗(a∗b)=(a∗a)∗(b∗b)(a * b) * (a * b) = (a * a) * (b * b)(a∗b)∗(a∗b)=(a∗a)∗(b∗b)。

方法三：任何阶数为 1、2、3、4 的群都是阿贝尔群。

十、循环群 10.1 循环群的定义定义：⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 是群，若 GGG 中的所有元素都是某个元素 aaa 的幂，则称 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 为循环群（Cyclic Group），元素 aaa 叫做循环群的生成元（Generator）。

示例：⟨{0,1,2,3},+4⟩\langle \{0, 1, 2, 3\}, +_4 \rangle⟨{0,1,2,3},+4​⟩ 是循环群，其中 +4+_4+4​ 定义为 a+4b=(a+b)(mod4)a +_4 b = (a + b) \pmod{4}a+4​b=(a+b)(mod4)。生成元为 1（或 3）。

10.2 循环群的性质性质1：循环群一定是阿贝尔群。

反之不成立：阿贝尔群不一定是循环群。

性质2：有限循环群 ⟨G,∗⟩\langle G, * \rangle⟨G,∗⟩ 的生成元是 aaa，∣G∣=n|G| = n∣G∣=n，则 an=ea^n = ean=e，且：

G={a,a2,a3,⋯ ,an−1,an=e}G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^{n-1}, a^n = e\}G={a,a2,a3,⋯,an−1,an=e}

证明步骤：

当 m

对于某个确定的循环群，其生成元或者唯一或者不唯一。

性质4：循环群的子群也是循环群。

十一、同态 11.1 同态映射的定义定义：⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩、⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 是两个代数系统，fff 是从 AAA 到 BBB 的一个映射（函数），并且 ∀a,b∈A\forall a, b \in A∀a,b∈A，f(a⋆b)=f(a)△f(b)f(a \star b) = f(a) \triangle f(b)f(a⋆b)=f(a)△f(b)，则称 fff 是从 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到 ⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 的同态映射，记作 A∼BA \sim BA∼B。

注意：

任意两个代数系统之间不一定同态（即不一定存在同态映射）即使两个代数系统之间同态，其同态映射也不一定唯一 11.2 同态的结论设 fff 是从 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到 ⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 的一个同态映射，则同态像 f(A)⊆Bf(A) \subseteq Bf(A)⊆B，且：

⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 是半群 ⇒\Rightarrow⇒ ⟨f(A),△⟩\langle f(A), \triangle \rangle⟨f(A),△⟩ 也是半群⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 是独异点 ⇒\Rightarrow⇒ ⟨f(A),△⟩\langle f(A), \triangle \rangle⟨f(A),△⟩ 也是独异点⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 是群 ⇒\Rightarrow⇒ ⟨f(A),△⟩\langle f(A), \triangle \rangle⟨f(A),△⟩ 也是群 11.3 同态核定义：fff 是从群 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到群 ⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 的一个同态映射，AAA 的子集 Ker(f)\text{Ker}(f)Ker(f) 包含了 AAA 中所有映射到群 ⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 的幺元的元素，称为 fff 的同态核。

Ker(f)={a∈A∣f(a)=eB}\text{Ker}(f) = \{a \in A \mid f(a) = e_B\}Ker(f)={a∈A∣f(a)=eB​}

定理：fff 的同态核 Ker(f)\text{Ker}(f)Ker(f) 是群 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 的子群。

11.4 自同态与自同构自同态：fff 是从 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 的同态。

自同构：fff 是从 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 的同构。

注意：自同态、自同构函数不一定是恒等函数。

十二、同构 12.1 同构映射的定义设 fff 是从 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到 ⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 的一个同态：

若 fff 是满射，则称 fff 为满同态若 fff 是单射，则称 fff 为单一同态若 fff 是双射，则称 fff 为同构映射，记作 A≅BA \cong BA≅B注意：

任意两个同态的代数系统不一定同构（即同态映射不一定是双射）两个代数系统之间的同构映射可以不唯一同构映射的逆也是同构映射 12.2 同构的性质同构的两个代数系统具有相同的基数，且对运算保持相同的性质：

同构保持了结合律、交换律、幂等律同构使两个系统同时存在幺元（零元、逆元），并且通过同构映射相对应同构关系是等价关系（自反、对称、传递），因此可根据同构关系划分等价类。

12.3 判断同构的方法初步判断（非严格证明）：

集合的基数是否相同运算是否同时满足交换律、结合律、幂等律幺元、零元、逆元是否同时存在并且相对应 12.4 证明同构的方法方法一：根据定义，找出同构映射 fff，证明：

fff 是双射∀a,b∈A\forall a, b \in A∀a,b∈A，f(a⋆b)=f(a)△f(b)f(a \star b) = f(a) \triangle f(b)f(a⋆b)=f(a)△f(b)方法二：利用同构关系的等价性——若两个代数系统同时与另外一个代数系统同构，则它们彼此同构。

12.5 证明不同构的方法集合的基数不同运算的性质不同（不同时满足交换律、或结合律、或幂等律等）特殊元素（幺元、零元、逆元）不同时存在，或没有对应关系设存在同构映射 fff，由具体的元素和运算得出 fff 不是双射设存在同构映射 fff，由具体的元素和运算得出与原集合或运算矛盾的结果 本节小结代数系统：非空集合 + 若干运算 + 运算封闭，记作 ⟨A;f1,f2,⋯ ,fn⟩\langle A; f_1, f_2, \cdots, f_n \rangle⟨A;f1​,f2​,⋯,fn​⟩一元运算：一个操作数；二元运算：两个操作数封闭性：运算结果仍在集合中可交换性：x∗y=y∗xx * y = y * xx∗y=y∗x可结合性：(x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z)(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，判断时必须用三个变元可分配性：△\triangle△ 对 ⋆\star⋆ 可分配，需要左、右可分配同时成立可吸收性：x△(x⋆y)=xx \triangle (x \star y) = xx△(x⋆y)=x 且 x⋆(x△y)=xx \star (x \triangle y) = xx⋆(x△y)=x等幂性：x∗x=xx * x = xx∗x=x幺元：e∗x=x∗e=xe * x = x * e = xe∗x=x∗e=x，若存在必唯一零元：θ∗x=x∗θ=θ\theta * x = x * \theta = \thetaθ∗x=x∗θ=θ，若存在必唯一，幺元 ≠\neq= 零元逆元：a∗b=b∗a=ea * b = b * a = ea∗b=b∗a=e，逆元不一定存在，不一定唯一广群：封闭；半群：封闭 + 可结合；独异点：半群 + 幺元；群：独异点 + 逆元群的性质：无零元、方程有唯一解、消去律、运算表每行每列为置换、除幺元外无幂等元子群：群的非空子集对运算封闭且本身构成群阿贝尔群：可交换的群，阶数为1、2、3、4的群都是阿贝尔群循环群：所有元素都是某个生成元的幂的群，循环群一定是阿贝尔群，子群也是循环群同态映射：f(a⋆b)=f(a)△f(b)f(a \star b) = f(a) \triangle f(b)f(a⋆b)=f(a)△f(b)，同态保持半群/独异点/群的结构同态核：映射到幺元的元素集合，是群的子群同构映射：双射的同态，同构的代数系统本质上是同一个系统同构是等价关系：可据此划分等价类自同态/自同构：从代数系统到自身的同态/同构，不一定是恒等函数 练习题 练习1：运算表分析题目：设 A={a,b,c}A = \{a, b, c\}A={a,b,c}，运算 ∗*∗ 的运算表如下，判断 ∗*∗ 是否封闭、可交换、可结合，是否存在幺元、零元、逆元。

∗*∗abcaabcbbcaccab解：

封闭性：运算表中所有结果都在 AAA 中，✓可交换性：运算表关于主对角线对称（a∗b=b∗a=ba*b = b*a = ba∗b=b∗a=b，a∗c=c∗a=ca*c = c*a = ca∗c=c∗a=c，b∗c=c∗b=ab*c = c*b = ab∗c=c∗b=a），✓幺元：aaa 所在的行和列都与表头一致（a∗x=x∗a=xa*x = x*a = xa∗x=x∗a=x），所以 aaa 是幺元零元：不存在（没有任何元素所在行和列全是该元素本身）逆元：a−1=aa^{-1} = aa−1=a（a∗a=a=ea * a = a = ea∗a=a=e），b−1=cb^{-1} = cb−1=c（b∗c=a=eb * c = a = eb∗c=a=e），c−1=bc^{-1} = bc−1=b（c∗b=a=ec * b = a = ec∗b=a=e）等幂性：a∗a=aa * a = aa∗a=a ✓，b∗b=c≠bb * b = c \neq bb∗b=c=b ✗，不满足等幂性结合律：需要验证 (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z)(x∗y)∗z=x∗(y∗z) 对所有 x,y,zx,y,zx,y,z 成立。经逐一验证，✓结论：⟨A,∗⟩\langle A, * \rangle⟨A,∗⟩ 是一个阿贝尔群（可交换的群）。

练习2：幺元与逆元求解题目：设 Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}Z6​={[0],[1],[2],[3],[4],[5]} 是模6的同余类集合，运算 +6+_6+6​ 定义为 [a]+6[b]=[(a+b) mod 6][a] +_6 [b] = [(a+b) \bmod 6][a]+6​[b]=[(a+b)mod6]。求幺元和每个元素的逆元。

解：

幺元：[0][0][0]，因为 [a]+6[0]=[(a+0) mod 6]=[a][a] +_6 [0] = [(a+0) \bmod 6] = [a][a]+6​[0]=[(a+0)mod6]=[a]逆元：[0]−1=[0][0]^{-1} = [0][0]−1=[0]（[0]+6[0]=[0][0] +_6 [0] = [0][0]+6​[0]=[0]）[1]−1=[5][1]^{-1} = [5][1]−1=[5]（[1]+6[5]=[0][1] +_6 [5] = [0][1]+6​[5]=[0]）[2]−1=[4][2]^{-1} = [4][2]−1=[4]（[2]+6[4]=[0][2] +_6 [4] = [0][2]+6​[4]=[0]）[3]−1=[3][3]^{-1} = [3][3]−1=[3]（[3]+6[3]=[0][3] +_6 [3] = [0][3]+6​[3]=[0]）[4]−1=[2][4]^{-1} = [2][4]−1=[2]（[4]+6[2]=[0][4] +_6 [2] = [0][4]+6​[2]=[0]）[5]−1=[1][5]^{-1} = [1][5]−1=[1]（[5]+6[1]=[0][5] +_6 [1] = [0][5]+6​[1]=[0]）⟨Z6,+6⟩\langle \mathbb{Z}_6, +_6 \rangle⟨Z6​,+6​⟩ 是一个群（也是阿贝尔群、循环群，生成元为 [1][1][1] 或 [5][5][5]）。

练习3：二元运算个数题目：设 A={a,b}A = \{a, b\}A={a,b}，问 AAA 上可定义多少个不同的二元运算？其中有多少个是可交换的？

解：

AAA 上的二元运算 ∗*∗ 是从 A×AA \times AA×A 到 AAA 的映射∣A×A∣=4|A \times A| = 4∣A×A∣=4，每个序偶的运算结果有 ∣A∣=2|A| = 2∣A∣=2 种选择二元运算总数：24=162^4 = 1624=16 个对于可交换的运算，需要 a∗b=b∗aa*b = b*aa∗b=b∗a，即 ⟨a,b⟩\langle a,b \rangle⟨a,b⟩ 和 ⟨b,a⟩\langle b,a \rangle⟨b,a⟩ 的结果相同。独立的选择有：a∗aa*aa∗a（2种）、b∗bb*bb∗b（2种）、a∗b=b∗aa*b = b*aa∗b=b∗a（2种），共 23=82^3 = 823=8 个可交换的二元运算。

练习4：代数系统类型判断题目：判断以下代数系统分别是广群、半群、独异点、群中的哪些：

(1) ⟨N,+⟩\langle \mathbb{N}, + \rangle⟨N,+⟩（自然数集，加法）

(2) ⟨Z,+⟩\langle \mathbb{Z}, + \rangle⟨Z,+⟩（整数集，加法）

(3) ⟨Z,×⟩\langle \mathbb{Z}, \times \rangle⟨Z,×⟩（整数集，乘法）

(4) ⟨Q−{0},×⟩\langle \mathbb{Q} - \{0\}, \times \rangle⟨Q−{0},×⟩（非零有理数集，乘法）

解：

代数系统广群半群独异点群⟨N,+⟩\langle \mathbb{N}, + \rangle⟨N,+⟩是是是（幺元0）否（除0外无逆元）⟨Z,+⟩\langle \mathbb{Z}, + \rangle⟨Z,+⟩是是是（幺元0）是⟨Z,×⟩\langle \mathbb{Z}, \times \rangle⟨Z,×⟩是是是（幺元1）否（±1\pm 1±1 外无逆元）⟨Q−{0},×⟩\langle \mathbb{Q}-\{0\}, \times \rangle⟨Q−{0},×⟩是是是（幺元1）是 练习5：同态映射证明题目：设 fff 是从群 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到群 ⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 的同态映射，ggg 是从群 ⟨B,△⟩\langle B, \triangle \rangle⟨B,△⟩ 到群 ⟨C,⊙⟩\langle C, \odot \rangle⟨C,⊙⟩ 的同态映射。证明 g∘fg \circ fg∘f 是从 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到 ⟨C,⊙⟩\langle C, \odot \rangle⟨C,⊙⟩ 的同态映射。

证明：

设 a1,a2∈Aa_1, a_2 \in Aa1​,a2​∈A，则：

(g∘f)(a1⋆a2)=g(f(a1⋆a2))(g \circ f)(a_1 \star a_2) = g(f(a_1 \star a_2))(g∘f)(a1​⋆a2​)=g(f(a1​⋆a2​))

因为 fff 是同态映射，f(a1⋆a2)=f(a1)△f(a2)f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \triangle f(a_2)f(a1​⋆a2​)=f(a1​)△f(a2​)，所以：

=g(f(a1)△f(a2))= g(f(a_1) \triangle f(a_2))=g(f(a1​)△f(a2​))

因为 ggg 是同态映射，g(f(a1)△f(a2))=g(f(a1))⊙g(f(a2))g(f(a_1) \triangle f(a_2)) = g(f(a_1)) \odot g(f(a_2))g(f(a1​)△f(a2​))=g(f(a1​))⊙g(f(a2​))，所以：

=(g∘f)(a1)⊙(g∘f)(a2)= (g \circ f)(a_1) \odot (g \circ f)(a_2)=(g∘f)(a1​)⊙(g∘f)(a2​)

因此 g∘fg \circ fg∘f 是从 ⟨A,⋆⟩\langle A, \star \rangle⟨A,⋆⟩ 到 ⟨C,⊙⟩\langle C, \odot \rangle⟨C,⊙⟩ 的同态映射。

练习6：循环群判断题目：⟨{0,1,2,3},+4⟩\langle \{0, 1, 2, 3\}, +_4 \rangle⟨{0,1,2,3},+4​⟩ 是否为循环群？若是，求其生成元。

解：+4+_4+4​ 定义为 a+4b=(a+b) mod 4a +_4 b = (a + b) \bmod 4a+4​b=(a+b)mod4。

检验元素 111 的幂：11=11^1 = 111=1，12=1+41=21^2 = 1 +_4 1 = 212=1+4​1=2，13=2+41=31^3 = 2 +_4 1 = 313=2+4​1=3，14=3+41=01^4 = 3 +_4 1 = 014=3+4​1=0。

G={1,2,3,0}={0,1,2,3}G = \{1, 2, 3, 0\} = \{0, 1, 2, 3\}G={1,2,3,0}={0,1,2,3}，所以 111 是生成元。

检验元素 333 的幂：31=33^1 = 331=3，32=3+43=23^2 = 3 +_4 3 = 232=3+4​3=2，33=2+43=13^3 = 2 +_4 3 = 133=2+4​3=1，34=1+43=03^4 = 1 +_4 3 = 034=1+4​3=0。

G={3,2,1,0}G = \{3, 2, 1, 0\}G={3,2,1,0}，所以 333 也是生成元。

元素 222 的幂：21=22^1 = 221=2，22=02^2 = 022=0，23=22^3 = 223=2，… 只生成 {0,2}≠G\{0, 2\} \neq G{0,2}=G，所以 222 不是生成元。

结论：⟨{0,1,2,3},+4⟩\langle \{0,1,2,3\}, +_4 \rangle⟨{0,1,2,3},+4​⟩ 是循环群，生成元为 111 和 333。

关键术语速查术语定义代数系统非空集合 + 若干封闭运算，⟨A;f1,f2,⋯ ,fn⟩\langle A; f_1, f_2, \cdots, f_n \rangle⟨A;f1​,f2​,⋯,fn​⟩一元运算只带一个操作数的运算二元运算带两个操作数的运算封闭性∀x,y∈A,x∗y∈A\forall x, y \in A, x * y \in A∀x,y∈A,x∗y∈A可交换性∀x,y∈A,x∗y=y∗x\forall x, y \in A, x * y = y * x∀x,y∈A,x∗y=y∗x可结合性∀x,y,z∈A,(x∗y)∗z=x∗(y∗z)\forall x, y, z \in A, (x * y) * z = x * (y * z)∀x,y,z∈A,(x∗y)∗z=x∗(y∗z)可分配性x△(y⋆z)=(x△y)⋆(x△z)x \triangle (y \star z) = (x \triangle y) \star (x \triangle z)x△(y⋆z)=(x△y)⋆(x△z)可吸收性x△(x⋆y)=xx \triangle (x \star y) = xx△(x⋆y)=x 且 x⋆(x△y)=xx \star (x \triangle y) = xx⋆(x△y)=x等幂性∀x∈A,x∗x=x\forall x \in A, x * x = x∀x∈A,x∗x=x幺元（单位元）e∗x=x∗e=xe * x = x * e = xe∗x=x∗e=x，若存在必唯一零元θ∗x=x∗θ=θ\theta * x = x * \theta = \thetaθ∗x=x∗θ=θ，若存在必唯一逆元a∗b=b∗a=ea * b = b * a = ea∗b=b∗a=e，记作 a=b−1a = b^{-1}a=b−1运算表用表格表示有限集合上的二元运算广群封闭的代数系统半群封闭 + 可结合的代数系统子半群半群的非空子集对运算封闭独异点（幺半群）含幺元的半群群封闭 + 可结合 + 幺元 + 每个元素有逆元有限群GGG 是有限集的群，元素个数为阶数子群群的非空子集本身也构成群平凡子群S={e}S = \{e\}S={e} 或 S=GS = GS=G 的子群消去律a∗b=a∗c⇒b=ca * b = a * c \Rightarrow b = ca∗b=a∗c⇒b=c阿贝尔群（交换群）运算可交换的群循环群所有元素都是某个生成元的幂的群生成元循环群中能生成所有元素的那个元素同态映射f(a⋆b)=f(a)△f(b)f(a \star b) = f(a) \triangle f(b)f(a⋆b)=f(a)△f(b) 的映射满同态满射的同态映射单一同态单射的同态映射同构映射双射的同态映射，记作 A≅BA \cong BA≅B同态核Ker(f)={a∈A∣f(a)=eB}\text{Ker}(f) = \{a \in A \mid f(a) = e_B\}Ker(f)={a∈A∣f(a)=eB​}，是群的子群自同态从代数系统到自身的同态映射自同构从代数系统到自身的同构映射